수학 학습 지도 원리와 방법

2002년 경에 읽고 요약.

제1장. 소크라테스의 산파법

교육에 대한 소크라테스의 생각:

사실 소크라테스는 지식이 학습자에 의해 발견, 발명된다고 믿지는 않았다. 소크라테스에 따르면 영혼은 불멸의 존재로 이데아의 영역에 머물 때 모든 참된 지식을 소유하고 있었으나 육신과 결합되는 순간 이를 망각한 상태로서, 누구든지 끈기있게 탐구한다면 모든 지식을 상기해 낼 수 있다고 보았다. 어떤 지식이 내재하고 있지만, 명료한 상태로 있는 것이 아니라 마치 꿈결에서처럼 아련하고 어렴풋하게 존재하고 있으며, 이를 대화를 통해 명료히 드러낼 수 있다는 것이다. 학습은 그러한 망각된 지식을 상기하는 과정으로, 그것을 돕는 것이 교육이요 교사의 임무라는 것이다. —p14

반교수학적 방법:

이러한 소크라테스 방법과 반대되는 것이 객관화된 수학을 그 연역체계에 따라 해설하는 방법이다. 수학자는 사고 결과를 객관화하고 엄밀하게 체계화하는 전통이 있기 때문에 수학 교과서에서도 그러한 결과에 이른 사고과정 대신에 세련된 결과를 출판하려는 객관화하는 태도에 충실하게 된다. 한스 프로이덴탈은 이러한 교사와 교과서 저자의 태도를 ‘반교수학적’이라고 부른다. 객관화된 기성수학은 수학의 완전한 미적인 아름다움을 찾고 수학적 체계와 엄밀성이 뇌리에서 떠나지 않는 수학자들에게는 만족을 주고 분명한 이해를 가능하게 할 수 있지만, 그 구성 관계를 전연 알고 있지 못한 학생들에게는 의미를 갖기 어려우며 수학적 사고의 발달에 영향을 미치기 어렵다. —p15

제2장. 연역법과 분석-종합법

연역적 전개의 교육적 문제점:

계산의 매 단계마다 연산의 기본성질을 말하라는 것은 성인에게 아침에 일어나서 하는 모든 행동을 정당화하도록 요구하는 것과 같다. … (하지만) 그러한 행동이 습관적이어야 하듯이, 학생들은 연산의 기본성질에 매우 친숙하여 의식하지 않고 사용하는 것이 훨씬 바람직하다. 이는 지네와 두꺼비에 대한 우화를 생각나게 한다. 지네가 한가로이 기어가고 있는데 두꺼비를 만났다. 두꺼비가 지네에게 이르기를 ‘너는 다리가 100개인데도 각 다리를 언제 사용할지를 알고 있구나’ 하였다. 그 소리를 듣고 지네는 다음에 어느 다리를 쓸까를 생각하기 시작하였으며 움직일 수가 없었다. 지네에게는 곧 비극적인 상황이 닥쳤을 것이다. —p29

엄밀한 전개를 요구하는 것은 학생의 학습에 도움을 못준다.

수학의 정신은 논리적 엄밀성이라고 보고 엄밀한 연역적 전개를 시도하여 하찮은 내용을 철저하게 취급하면서 학교수학의 여러 영역에서 논리적인 접근을 강조하고 있는데 이는 위선적인 것이다. 엄밀한 유클리드 기하나, 연산의 폐쇄성이나, 등식의 반사성, 대칭성, |추이성 등의 공리를 첨가한 엄밀한 대수와 같이, 엄밀한 전개는 과연 교육에 기여하는가? 우선 최상급의 수학자들이 2천 년 이상 인식하지 못하였던 것을 어린 학생들에게 요구하는 것부터가 무리한 요구이다. … 더구나 대수롭지 않은 많은 성질을 증명하다가 주요한 부분을 강조하지 못하고 중요한 정리를 다룰 시간을 빼앗기게 된다. —p29-30

수학적 발견은 상상, 직관, 실험, 사려깊은 추측, 시행착오, 유추, 심미감, 실수와 실패 등에 의해 이루어진다. 이는 수학이란 무엇인가에서도 나왔던 말이다. 수학에서 이러한 부분이 빠진다면 수학은 그야말로 재미없는 학문이 될 것이다.

엄밀한 연역적 전개를 강조하면서 학생들에게 스스로 발견하는 방법을 가르친다고 주장하는데, 수학적 발견은 상상, 직관, 실험, 사려깊은 추측, 시행착오, 유추, 심미감, 실수와 실패 등에 의해 이루어지며, 이는 굳건한 논리적 기반 위에서는 수행되지 않는 것이다. —p30

연역적 증명을 배제하라는 뜻이 아니라 제 위치에 놓으라는 것:

연역적 전개는 이미 알고 있는 것을 체계적으로 전달하는 데 유용하지만, 진정한 이해를 신장시키지 않으며 학교수학의 생명을 빼앗는 나쁜 영향을 미친다. 이는 연역적 증명을 학교 수학에서 완전히 배제하라는 뜻은 아니며, 제 위치에 놓으라는 주장이다. —p30-31

기호의 남용에 대해. 기호에 익숙해지려면 어떻게 해야하는가:

기호의 적절한 사용은 의사소통을 도울 수 있지만, 기호의 지나친 사용은 의미 기억에 부담을 주고 내용에 대한 이해를 어렵게 한다. 기호는 아이디어를 숨길 수 있으며, 더욱이 심리적으로 기호는 학생들을 두려워하게 만든다. 기호는 먼저 그것이 나타내는 아이디어를 배워 알고 있을 때에만 생명력과 의미와 아름다움과 사고의 함축을 지닐 것이다. 문제는 기호를 사용한 엄밀한 언어가 아니라 의미가 분명한 언어를 사용하는 것이다. —p32

연역적 전개의 문제. 실세계와의 관련성이 점점 낮아진다:

기존의 수체계에서 새로운 형태의 방정식의 해에 대한 문제를 제기하고 ‘형식불역의 원리’에 의해 기존의 연산법칙을 새로운 영역으로 확장하여 수를 형식적으로 확장하듯이, 연역적으로 전개되는 수학은 이미 학습한 개념에 대하여 수학적인 문제를 제기하여 새로운 개념을 도입하는 방식으로, 스스로 번식하는 형태로 제시된다. 이렇게 제시된 수학은 현실 및 다른 지식분야로부터 고립된 수학을 위한 수학이 된다. 이와 같이 확립된 연역적 구조가 우연히 어떤 현실 상황과 들어맞고 실제적인 문제에 적용될 수 있는 것으로 여겨지게 되지만, 실제로 그렇게 도입된 수학은 교과서에 나오는 인위적인 연습문제의 해결에 그치며, 실세계와 관계가 없고 적용 가능하지 못하다. —p32

수학교육에서 공리적/연역적 접근이 교사에게 인기를 얻는 주요한 이유의 하나는 그것이 고등수학의 전개양식이면서 무엇보다도 가르치기 쉽다는 점이다. … 그러나 사소한 내용을 엄밀하게 연역적으로 다루거나 수와 숫자, 각과 각의 크기 등을 구분하듯이 현학적이고 의미없는 구분을 하거나, 하찮은 것을 과장된 용어나 기호로 나타내어 강조하거나, 풍부한 본질을 숨기고 추상적인 형식을 엄밀하게 제시하거나, 다른 지식으로부터 고립된 무디 건조한 일반적인 원리를 제시하거나, 간단한 아이디어에 대해 세령된 형식을 강조하거나, 깊은 아이디어를 형식적이고 피상적으로 다루는 등의 형식적인 전개는 수학의 건전한 생명력을 부식시키며 전통적인 교재보다 훨씬 쓸모없는 것이다. 그것은 실질을 희생시키고 형식을 제시하는 것이며, 수학과 실세계 및 응용분야와의 관계 및 교육적 원리를 무시하는 것이다. 그것은 교육을 희생시키고 이론을 강조하는 것이다. —p32-33

계속되는 비판. 수학과 물리학의 단절:

구체적 사실과의 관련성에 대한 충분한 논의 없이 새로운 개념을 도입하고 통합하는 경험 없이 일반적인 통합 개념을 도입하거나 구체적인 진정한 응용 없이 도입된 개념을 되뇌이는 것으로는 수학의 정신을 가르칠 수 없으며, 초기 형식화는 사고의 불모를 초래한다. 현재의 학교 수학의 큰 결함의 하나는 수학을 다른 지식분야나 탐구분야, 특히 물리학과의 관계를 단절시킴으로써 그 기원과 목적과 유용성, 그리고 학습 동기를 잃어버린 점이다.

17세기부터 19세기 말까지 위대한 수학자들의 주요한 관심사는 자연 현상을 이해하는 것이었으며, 그들 가운데에는 수학에서보다도 천문학과 물리학 분야에서 더 많은 업적을 남긴 사람들이 많았다. … 수학은 과학의 일종으로 간주되었으며, 수학과 이론물리학과의 구분은 거의 없었다. … 수학자들은 아직도 과거의 위대한 수학자들의 업적을 들어 수학의 잠재적인 과학적 가치를 주장하고 과학의 모델 창안을 이야기하지만, 과학을 모르기 때문에 실제로 이는 불가능하다. … 대부분의 수학자들은 순수 수학 분야에서 신속히 두드러진 많은 연구 업적을 산출하는 데 몰두하고 있으며, 과학적 목적을 갖는 고전적인 수학의 연구는 수백 년 동안 탐구되어 온 광범한 배경을 요하기 때문에 소수의 응용수학자들만이 추구하고 있다. —p33-p34

수학의 형식성을 강조하는 것은 교육적으로 적절치 못하다:

현대 추상수학자들은 수학의 응용적 가치보다도 이론적 아름다움을 내세우기도 한다. 그러나 수학이 형식적인 규칙 게임이라는 생각은 교육적으로 적절하지 않으며, 수학을 세계를 이해하는 도구, 자연의 언어로 생각한 아르키메데스와 아이작 뉴튼의 정식이 중요하다. 수학은 과학의 언어이자 없어서는 안되는 도구이며, 수학을 과학과 분리하는 것은 수학의 가장 중요한 원천을 잃는 것이다. —p34

논리적 전개보다 역사발생적 원리에 따른 전개가 더 적절하다:

과학은 발생 상태에 있을 때 가장 잘 동화되므로 원전을 읽고 그 발생의 근원을 찾아 설명하고 그 역사적 형성과적을 되밟는 것이 자연스러운 학습-지도 방법이다. 논리적인 연역적 전개보다 역사발생적 원리에 따른 전개를 하는 것이 교육적으로 적절한 것이다. —p35

흥미를 통한 동기유발이 중요:

장래에 필요하게 될 수도 있다는 이유로 어린 학생들에게 자료를 진지하게 고려하기를 기대할 수는 없는 것이다. 공부할 당시에 학생들의 흥미를 끌어야 동기유발이 일어난다. 학교수학이 어떻게 유용한가 하는 데 대한 어떤 암시도 주지 않고, 대학에 들어가기 위해 수학을 공부해야 한다고 설득하는 것은 비인간적이기까지 하다. —p36

학교 수학에 의미를 부여하지 못하는 것은 음악 연주를 허용하지 않고 악보를 읽는 법을 가르치는 것과 유사하다. 동기유발은 심리적인 자극 이상이며, 진정한 동기유발은 수학의 의미에 대한 통찰이 제공한다. 이를테면, 이차함수식 $s = 16t^2$ 은 자유낙하운동과 관련됨을 알 때 의미를 갖게 되고, 타원은 태양 주위를 도는 행성의 궤도임을 알 때 단순한 곡선 이상이 된다. 그렇게 되면 이차식이나 타원과 관련된 문제는 물리적인 상황과 관련되기 때문에 의미를 갖게 된다. 물리적인 의미는 수학문제에 대하여 생각하는 힘을 제공한다. —p37-38

발견적 전개의 중요성.

학교 수학은 연역적이 아니라 발견적으로 전개되어야 한다. 발견적 접근이란 학생들에게 수학을 재발견하고 재창조하게 함을 의미한다. 이는 학생들로 하여금 직관적으로 생각하도록 안내하고 격려함으로써 가능한 것이며, 원래의 창조적인 작업의 결과를 고도로 세련시켜 인위적으로 재구성한 논리적 전개의 골격 내에서는 기대하기 어렵다. —p39

발견적 전개를 위한 역사발생적 원리.

수학을 재발견하도록 지도하는 데 역사발생적 원리가 크게 도움이 된다. 이에 따르면, 수학의 역사적 발달 순서는 자연스러운 교재구성 순서이며, 수학자들이 경험한 어려움은 학생들이 당면하는 어려움이다. —p39

발견과 직관에 앞서 논리적 전개를 해서는 안된다.

이해는 직관적으로 성취되며, 논리적 제시는 잘못하면 그에 결정적인 방해가 된다. 발견과 직관에 앞서 논리적 전개를 해서는 안된다. 논리는 직관이 정복한 것을 인가할 뿐이며, 논리는 직관된 아이디어를 건강하고 강력하게 유지하기 위하여 수학자가 행하는 건강법이다. —p39

분석과 종합. 증명 문제의 경우 종합이 곧 증명이다.

분석에서는 하도록 요구되고 있는 것을 이미 이루어 진 것처럼, 구하고 있는 것을 이미 찾은 것처럼, 증명해야 할 것을 참인 것처럼 가정하는 것이다. 그리고 선행하는 어떤 것으로부터 바라는 결과가 유도될 수 있는가를 묻고 다시 그 선행자의 선행자는 무엇인가 묻기를 계속하여 결국 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 것에 이르게 된다. 또는 문제에서 구하고자 하는 것을 이미 구한 것처럼 가정하고 그로부터 유도될 수 있는 명제를 도출하고 다시 그로부터 유도될 수 있는 명제를 도출하기를 계속하여 이미 답을 알고 있는 명제에 도달하게 된다. 이러한 절차를 분석 또는 거꾸로 풀기라고 부른다. 그리고 분석의 과정을 거꾸로 하여 분석에서 마지막에 도달한 지점, 곧 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 명제로부터 출발하여 분석과정을 거꾸로 되밟아 감으로써 마지막에 요구하는 명제에 도달하는 연역과정을 종합이라고 한다. 분석은 풀이계획을 발견하는 과정이고 종합은 그 계획을 실행하는 과정이다. 증명 문제에서 분석의 과정을 거꾸로 되밟은 연역과정인 종합이 곧 증명이다. —p43

유클리드의 기하학 원론 이후 분석과 종합 중 종합이 지나치게 강조되고 있다.

그리스 수학에서는 분석과 종합의 변증법적인 통합을 수학적 사고의 본질로 보았으나, 기하학 원론 곧 기본 원리인 공리, 공준, 정의를 수학적 논리적/존재론적 기초로 보고 그로부터 정리를 연역하는 종합을 수학적 진리를 구성하고 그 이해를 보증하는 방법으로 생각하여, 발견의 논리인 분석이 감추어진 기하학 원론을 교과서로 사용하였으며, 이는 오늘날까지 거역할 수 없는 전통처럼 여겨져 수학 교과서 구성과 수학을 가르치는 지도방법의 전형이 되고 있다. 앞에서도 언급한 바와 같이, 이는 아마도 제1장에서 논의한 소크라테스의 철학에 기인한 듯 하다. —p43

제3장. 직관적 방법

프란시스 베이컨의 경험주의 철학의 영향을 받은 직관적 교수법. See p57

에밀:

직관적 교수법의 참다운 건설자는 장-자크 루소의 자연주의 교육사상의 영향을 받은 요한 하인리히 페스탈로치이다. … 장-자크 루소는 자연인을 그 자연스러운 발달법칙에 따라서 자연이 사람을 교육하는 그대로 인간 본연의 심성을 신장시키는데 교육의 근본을 두었다. 교육작용을 인간발달의 자연법칙과 일치시키자는 그의 자연주의 교육사상은 그가 ‘사색한지 20년 붓을 든지 3년이었다’고 고백했을만큼 그의 사상이 녹아 있는 교육소설 에밀 가운데 구체적으로 드러나 있다. … 에밀은 인류역사 전체를 통틀어 가장 중요한 교육적 저작이라도 말해도 좋을 것이다. —p57-58

형식적으로 아는 것과 직관적으로 수용한다는 것은 다르다:

어떤 논리규칙을 형식적으로 안다는 사실은 그것이 직관적으로 동화되었다는 것을 함의하지는 않는다. 드모르간의 법칙을 안다는 사실은 그가 이 법칙을 자명하다고 생각한다는 것을 뜻하지는 않는다. 이에 비해 추이성은 어느 연령이 되면 자명한 성질로 파악된다. 전체는 그 부분보다 크다는 것은 직관적인 논리적 규칙이므로 자연수의 집합이 짝수의 집합과 대등하다는 것을 배울 때 놀라게 된다. —p75

인간에게는 일반적으로 자신의 지식과 해석, 판단의 정확성을 과대평가하는 경향이 있다:

길을 건널 때 우리가 보는 것을 믿지 않으면 우리의 반응은 연속성이 없고 조절이 잘 안 될 것이다. 이와 유사하게 우리는 추론 과정에서 표상과 해석과 순간적인 풀이를 적어도 순간적으로 믿어야 하며, 그렇지 않으면 사고의 흐름이 마비될 것이다. 실제에 대한 심상과 관념, 가설적인 해는 편향되거나 왜곡되거나 불완전하거나 완전히 잘못될 수 있다. 그럼에도 불구하고 적어도 일시적으로 그러한 정신적인 산물을 믿으려면 어느 정도 과신이 필요하다. 직관은 과신이 본질적인 역할을 하는 인지 작용이다. 이는 직관적인 느낌으로 경험적 자료나 논리적 증명에 의해 객관적으로 뒷받침되지 못한 명제를 수용하고 정보의 결함을 간과하는 경향이 있음을 의미한다. 인간은 일반적으로 자신의 지식과 해석, 판단의 정확성을 과대 평가하는 경향이 있다. 이는 직관의 메커니즘으로 기본적으로 중요한 것으로 생각된다. —p76-77

사람들은 학습한 적이 있는 올바른 해답에 대해서보다도, 학습한 일이 없고 옳지 않은, 그러나 직관적으로 수용 가능한 해답을 더욱 신뢰한다:

$1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …$ 의 합을 묻는 문항에 대해 답이 2라는 것을 배운 기억이 있는 몇몇 학생들은 실제로 그 사실을 매우 신뢰하고 있지 않았던 데 비해, 이와 다른 그러나 직관적으로 수용할 수 있는 대답을 한 학생들은 그러한 대답을 비교적 높게 신뢰하고 있었다. 여기서 중요한 사실은 학습한 바른 해답에 대해서보다도 배운 일이 없는 옳지 않은 그러나 직관으로 수용 가능한 해답을 더욱 신뢰한다는 것이다. 우리의 기억과 추론 절차는 외적인 뒷받침(명시적인 지도와 같이)에 호소해야 하는 명제보다도 본질적으로 신뢰할 수 있는 것으로 생각되는 명제를 선택하고 유지하는 경향이 있다. —p77

시각화, 다양한 모델, 개인의 능동적 참여:

어떤 관념은 그에 대한 내재적인 신뢰감의 수준이 높을수록 그 생존 기회와 문제 해결과 결정에 능동적으로 참여할 기회가 더 높다. 그러면 내재잭인 신뢰감을 만들어내는 수단은 무엇인가? 시각화, 여러 가지 형태의 모델 사용, 능동적인 개인적 참여 등이 그에 포함된다. —p77

직관적 장애 문제:

아동에게 그가 옳다고 강력히 믿고 있는 경우라도 틀릴 수 있다는 것을 확신시키려고 한다고 상상해보자. 그 결과는 아동들의 수학적 추론과정에 혼란을 초래할 수도 있다. 전문가나 지적인 교육을 받은 성인은 이중 게임을 하는 법을 안다. 그들은 원칙적으로 틀릴 수 있다는 것을 알지만, 매 단계에 그들이 옳다고 확신하고 있는 것처럼 추론을 계속한다. 전체 사고과정이 완료된 다음에 조종단계가 시작될 수 있다. 그러나 아동은 이러한 지적인 이중성을 아직 구비하고 있지 못하다. 아동이 자신의 수학적 직관과 어떤 문제와 관련된 그의 시도에 대한 신뢰감을 잃는다면 어떻게 추론을 지속할 수 있는가? 아동은 수학에 대한 흥미를 신뢰감과 함께 완전히 상실할 수도 있을 것이다. —p78

직관적 장애 문제를 피하려면:

우리가 오류를 범하고 흔히 과신하는 경향이 있다는 사실이 우리를 낙담시켜서는 안된다는 사실을 강조해야 한다. … 따라서 우리는 자신의 정신활동을 분석하고 조종하는 것을 배워야 한다. 그러나 추론은 사고자의 목적에 의해서 대략적으로 안내되며, 자동적인 피드백 체계를 통하여 세부적인 것이 자동적으로 안내되는 과정이다. 사고과정을 매 단계 의식적으로 조종하려는 시도는 사고의 유창성과 연속성을 파괴하고 사고가 생산적이 되기 어렵게 만든다.

훌륭한 학생은 어려운 수학문제를 푼 후에 깊은 생각에 잠겨 문제를 마음 가운데에서 분석하며 굴리는 반성을 한다. 사후 분석은 사고과정을 조종하는 메타 인지적 능력을 발달시킨다. 메타 인지적 기법을 제공하지 않고 그의 생각이 틀릴 수 있다는 것을 납득시키려고 하면 학생의 자신감을 파괴시키는 역효과를 초래할 수도 있다. 메타 인지적 능력의 개발은 학생들의 사후 조종을 개선한다. …

메타 인지적 능력의 개발을 위한 바람직한 전략의 하나는 조작적 수준에서 자동적으로 작용하는 자기 조절 스키마를 개발하는 것이다. 한 가지 방법은 추론 가운데 잠재적인 함정에 이를 때마다 학생 자신에게 경고하는 ‘경보장치’를 개발하는 것이다. 이를테면, ‘0.65L의 주스 값이 2,000원 일 때, 1L의 값은 얼마인가?‘와 같은 잠재적으로 오류 가능성이 있는 문제를 풀어야 할 때, 자동적으로 발동되는 경보 장치를 개발하는 예를 들 수 있다. 여기서 경보 장치는 성급한 대답을 하는 것을 막는다. —p78-79

기하학의 난제:

기하학적인 점이나 직선은 시각화하지 않으면 생각할 수 없으며, 그러한 직관적인 표상 때문에 함정에 빠지게 된다. —p82

곱셈에 대한 직관:

형식적으로 제시되고 정당화된 풀이는 직관적으로 수용될 수도 그렇지 않을 수도 있다. 1L에 900원인 주스 3L의 값을 물으면 곱셈을 해야 한다는 것을 직관적으로 느끼고 수치적으로 정당화하고 수행한다. 그러나 1L에 3,000원인 포도주 0.9L의 값을 물으면 어려워하고 곱셈이 바른 풀이가 됨을 안다고 하여도 풀이는 흔히 직관적인 공감을 자아내지 못한다. 곱셈의 직관적인 모델은 동수누가이며, 소수가 승수가 되는 곱셈은 직관적인 의미를 갖지 못한다. —p87

경험적, 정신적 생산활동을 통한 직관적 이해도의 향상:

여러 가지 개념과 명제에 대한 학생들의 직관적인 이해를 깊게 하는 것이 중요하다. 이는 관련된 영역에서 학생들이 개인적으로 그러고 경험적으로 정신적인 생산적 활동에 참여하는 교수학적 상황을 창조함으로써만 이루어 질 수 있다. 이를테면, 통계와 확률의 성공적인 지도는 정리와 풀이 절차만을 가르침으로써 달성될 수 없다. 학생은 먼저 주사위, 동전, 구슬을 실제적으로 조작하고 여러가지 결과를 관찰하고 기록하고 요약하는 경험을 해야한다. 개별적으로 예측할 수 없는 결과가 대량 현상으로 고려될 때 어떤 구조를 산출하고 어떤 규칙성을 드러내는 경향이 있는 상황에 대한 경험을 해야 한다. 그러한 경험을 먼저 하지 않은 학생은 결코 통계적 명제와 확률 명제를 이해하고 직관적으로 조작하지 못할 것이다. 경험은 직관으로 조직될 행동 프로그램과 기대체계를 형성하는 데 기본적인 역할을 한다. —p97

전문가들 역시 직관과의 불일치에 대한 심리적 저항을 나타낸다.

수학자들은 계산에서 음수를 자주 사용하였지만 단지 일시적인 방편으로만 사용하였으며, 음수를 개념적으로 의미있는 실체로 받아들이지 않았다. 여기서 심리학적으로 주목해야 할 점이 음수를 수용하는 데 나타난 저항이 비전문가에게서만 나타나지 않았다는 점이다. 점이나 선과 같은 ‘비물질적인’ 다른 수학적인 추상적 개념을 사용하는데 반대하지 않았던 수학자들이 음수에 형식적인 수학적 위치를 부여하는 데 반대한 것이다. —p98

직관적이고 친근한 모델의 부재:

음수를 의미있는 수학적 실체로서 수용하기 어려운 것은 음수의 모든 대수적인 성질을 일관되게 만족하는 직관적이고 친근한 훌륭한 모델을 확인하기 어려운 데에서 비롯된다. 실제로 그러한 모델은 존재하지 않는다. 모델을 창안할 수도 있지만 인공적인 규약 체계를 사용함으로써만 가능하다. 수직선 모델, 미래-현재-과거 모델, 왼쪽-기준점-오른쪽 모델 등은 흥미롭지만 중대한 결함이 있다. 이들 모델은 음수 개념도 부호 규칙도 직관적으로 보다 수용 가능하게 만들지 못한다. —p100

모델이란:

동형대응을 근거로 체계 A에 의한 기술이나 해가 일관되게 체계 B로 반영되거나 그 역이 성립할 때 체계 B는 체계 A의 모델이라고 한다. —p103

다이어그램이란:

규약적인 그림을 사용하는 직관적인 모델은 일반적으로 다이어그램이라고 불린다. —p104

모델이 제공하는 것:

모델은 문제해결자에게 그 성질상 원형보다 인간 사고의 본성에 보다 적합한 대체물을 제공한다. 우리는 추상적인 것, 표상할 수 없는 것, 불확실한 것, 무한한 것보다 지각할 수 있는 것, 실제로 조작할 수 있는 것, 친근한 것, 행동적으로 조종 가능한 것으로 보다 잘 생각한다. 직관적인 모델의 본질적인 역할은 지적으로 접근 불가능한 것을 지적으로 접근 가능하고 조작할 수 있게 하는 것이다. 모델은 원래의 자료(성질, 과정, 관계)를 직관적으로 수용 가능한 요소로 번역한다. —p105

모델의 위험성:

모델을 사용하는 것은 모델을 사용하여 생산적으로 사고하는 것을 의미한다. 모델은 해결전략을 고무하고 해를 암시하며 원형에 의해서 얻어진 해의 일관성과 의미충실성을 확인해준다. 자율적 모델의 주요한 이점은 원형에 의해서 제기된 여러 가지 문제를 해결하기 위하여 모델에만 의존할 수 있다는 것이지만, 해결자가 모델에 너무 사로잡히게 되어 모델의 성질로부터 원형에 적절하지 않은 결론을 이끌어 낼 위험성이 있다. 수학자들은 점이란 추상적인 차원이 없는 실체이며 직선은 추상적인 일차원 실체임을 잘 알고 있지만, 수학사에서 나타난 여러가지 오개념은 조종되지 않은 그림 모델의 개쟁에 의해서 발생하였다. —p105-106

좋은 모델이란:

좋은 모델이란 자율적인 실체이어야 하는 동시에, 원래의 상황과 해결자의 지적 활동 사이의 신용할 수 있는 중재자이어야 한다. 그러나 대부분의 경우 직관적 모델은 흔히 부정확하고 불완전한 해석에 이르게 하는 불완전한 중개자이다. —p106

전형적인 예:

어떤 개념에 부과된 전형적인 예는 특별한 예를 확인하는 방식에 영향을 줄 뿐만 아니라, 문제를 해결하기 위해 채택하는 전략과 풀이 자체에 영향을 줄 수 있다. 전형적인 예가 개념구조에 미치는 중요한 영향은 위계의 붕괴라고 부를 수 있는 현상이다. 학생들은 2나 3과 같은 수가 복소수라는 데 동의하기 싫어하며, $x + yi$ 가 복소수의 일반형이고 $y = 0$ 일 수도 있다는데 동의함에도 불구하고, 이들 수를 자연수나 유리수로만 생각할 것이다. —p107

예를 들 때의 주의점. 교사에게 당연하게 생각되는 것이 학생에게도 당연한 것은 아니다:

교사는 어떤 이론이나 방법의 예를 들 때 그 예 가운데 구체화된 일반성을 보기 때문에, 예의 범위를 지적하거나 예라는 것을 인식시키기 위하여 강조될 필요가 있는 부분을 강조하지 못할 수도 있다. 그러나 학생들은 논의되고 있는 상화의 특별한 예에 대한 경험이 훨씬 적고 다른 예가 있다는 것을 인식하지 못할 수도 있기 때문에 제시된 예에 주의를 집중하게 된다. 학생들은 특별한 것만을 보면서도 그들에게 일반적인 것으로 보일 수도 있어, 결과적으로 ‘예를 배우게’ 된다. —p109

틈을 메우고자 하는 경향:

인간은 지각적 수준에서 겉보기에 자기 일관성이 있고, 하나의 대상으로서 전체로서 다룰 수 있는 친근한 이미지를 얻기 위하여 지각된 도형에 틈이 있으면 틈을 메워 완전히 하고 지각된 도형을 닫으려는 자연스러운 경향이 있다(see Law of closure). 우리는 직관적으로 틈을 메우고 도형을 닫아 불확실성을 줄이려는 자동적인 경향이 있다. 같은 일이 관념에 대해서도 일어난다. 우리는 정보의 조각을 자연스럽게 연결하여 그에 단일한 의미를 부여하는 경향이 있다. 이는 사고의 조종 가능성, 인지의 자기 일관성, 심적 조작의 내적인 균형을 향한 자연스러운 경향과 관련된다. 인간은 논거를 찾기를 멈추려는 경향이 있을 뿐만 아니라, 가능한 한 논쟁을 닫으려는 경향이 있다. 흔히 폐쇄의 순간은 불완전한 정보를 바탕으로 조숙하게 일어난다. 이는 결정을 하려는 욕구가 알려는 욕구보다 강함을 뜻하며, 정보의 불완전함에도 불구하고 겉보기의 굳건한 근거를 갖는 결정을 하기 위하여 가능한 한 망설임을 줄이고자 하는 기본적인 욕구에 의해 설명될 수 있다. —p119

철저한 심리학적/교수학적 연구없이 새로운 교수법을 도입하지 말것:

수학교육전략은 관련된 개념의 본질과 그 역사발생과 개체발생에 대한 심오한 지식을 바탕으로 구성되어야 한다. 특히 철저한 심리학적, 교수학적 연구 없이 학교수학에 새로운 개념을 도입하는 것은 용인될 수 없다. … 교육문제를 성공적으로 극복하기 위해서는 관련된 개념에 대한 심리적 측면을 먼저 이해해야 한다. 우리는 학생들이 개념에 부여한 암묵적인 해석, 직관적인 반응, 그들이 사용하는 직관적인 모델, 새로운 개념의 획득으로 받는 영향 등이 무엇인지 알아야 한다. 또한 수학적 개념의 직관적인 측면과 그 형식적인 구조 사이의 복잡한 관계에 여러 가지 교수학적인 수단이 미치는 영향을 평가해야 한다. 부적절한 전략은 이러한 두 요소의 생산적인 상호작용을 파괴할 수도 있다. —p128

제4장. 역사-발생적 원리

4장에서는 2장에서 주장한 내용에 조금 더 살을 붙이고 있다. 뒷쪽에서는 역사발생적원리에 의해 구성된 수학교과서의 예를 보여주고 있다. 삼각형의 내각의 합, 로그, 정적분, 미적분학의 기본정리 등을 예로 들고 있다.

제5장. 자극-반응 학습원리와 프로그램 학습-지도 방법

처벌 금지:

어떤 행동을 소멸시키기 위하여 흔히 사용되는 처벌은 처음에 일시적인 효과를 가질 수도 있지만, 행동을 조종하고 수정하는 빈약한 방법이며 바람직하지 않은 정서적인 부작용을 낳을 수 있다. 처벌은 반응의 확률을 증대시키지 않으므로 강화가 아니다. —p184

전통적 수업의 문제. 피드백 간극이 너무 길다:

스키너의 입장에서 보면, 전통적인 교육에서는 강화의 배치와 관련된 심각한 문제가 있 다. 학생의 계산 ‘행동’이 옳다는 강화를 언제 받는가? 물론 언젠가는 학생이 자신의 해답을 검사할 수 있고 자동적인 강화를 받을 수 있겠지만, 초기 단계에 옳다는 강화는 통상 교사에 의해서 주어진다. 그러나 교사가 제공하는 강화는 최적인 것이 못된다. 명백한 중재행위가 없으면 반응과 강화 사이의 단 몇 초의 경과라도 대부분의 효과를 파괴한다. 그럼에도 불구하고 전형적인 교실에서는 통상적으로 오랜 시간이 경과된다. 이를테면, 학생들이 문제를 푸는 동안 교사는 통로를 왔다 갔다 하면서 이곳 저곳에서 멈추어 옳고 그름을 말해준다. 학생의 반응과 교사의 강화 사이에는 수십 초 혹은 수분의 간격이 있으며, 과제를 검사하기 위하여 수합하는 경우에는 하루 이상이 걸린다. 그러한 상황에서 어떤 효과가 있다는 것은 놀라운 일이다. —p185

제6장. 발견방법과 설명방법

지루한 수업에서 재미찾기:

로버트 리 무어는 시카고 대학의 대학원생이었을 때 그러한 다소 급진적인 수학 교수법에 이르게 된 기본적인 착상을 하게 되었다. 영리하고 활동적인 정신의 소유자인 그는 강의 방식이 좀 따분하게 여겨졌으며, 지루한 강의에서 활기를 얻기 위해 강사가 칠판에 정리를 쓰고 증명을 해 나갈 때 필기를 하지 않고 스스로 증명을 발견할 수 있는지 알아보는 경주를 하였다. 빈번히 그는 경주에서 이겼는데, 여하튼 그러한 시도를 한 후부터 그는 전보다 의미있는 시간을 보내고 있다고 느꼈다. —p194

Moore method의 난제들:

이러한 교수법에서 가장 분명한 어려움은 학급을 균질화하는 것이다. 만일 경쟁이 평등한 발판 위에서 합리적으로 이루어지지 않는다면 기본적인 학습의욕 중 하나가 약화될 것이다. … 그러나 시간이 흐르면 학생들의 배경적 지식은 균질화되어 가므로 이는 심각한 장애는 아니다.

너무 겁이 많아 칠판에 증명을 제시하지 못하는 학생들을 다루는 문제도 생길 수 있다. 그러한 학생들을 토론으로 이끌어 들이려고 노력하고 그 결과를 칠판에 써보도록 제안하라. 6개월 정도 지나면 특히 미묘한 논쟁이 가열될 때 그들이 무엇을 하고 있는지도 의식하지 않고 일어나 자신의 생각을 발표하게 될 것이다.

사람들은 흔히 오류, 특히 공개적인 오류에 당황하는 경향이 있는바 비판을 조롱으로 느끼게 만들지 않도록 주의해야 한다. 연구 활동에 종사하는 수학자들은 오류를 범하는 데 너무 익숙하여 젊은 학생들이 겪는 고통을 잊는 경향이 있다. —p199

Moore method의 가장 심각한 문제는 교육자의 인내심:

학생들이 몇 개월 동안 자력으로 증명을 연구하게 되면 수학책을 읽게 하기가 매우 어려워진다. 학생들은 책을 읽고 이해하려고 하기보다 스스로 증명해보고자 할 것이다. 그러나 짧은 기간에 풍부한 수학적 교양을 얻으려면 어느 정도 시간이 흐른 다음에 일정한 기간을 할애하여 자력으로 수학책을 읽어 나아가도록 하는 것이 반드시 필요하다. …

이러한 교수법의 가장 어려운 측면은 교육자가 인내심을 가져야 한다는 것이다. 교육자는 학생을 연구하도록 교육하는 것, 학생들의 수학적 능력을 개발하는 것이 단지 지식을 전달하는 것보다 훨씬 더 중요하다는 신념에서 비롯된 인내심을 갖고 있어야 한다. 교육자는 학생을 도와주려는 충동을 억제해야 하며, ‘분명한 것’도 지적해서는 안된다. 비록 분명한 것일지라도 그것이 분명해지기 전에는 얼마나 어려운가를 우리 모두 잘 알고 있다. —p199

지식의 범위와 깊이:

어느 수준에서의 지식 교육이건 적용 범위와 깊이라는 두 이상 사이의 이율배반의 문제가 있다. 증가속도와 양의 증대에서 지식이 폴발하는 이 시대에 개인이 대처할 수 있는 길은 지식의 관련성을 파악하는 것이다. 알 가치가 있는 지식은 어떤 것인가? 즐거움을 주고, 그 내부에 일반화의 기초를 포함하고 있어서 주어진 정보를 초월하여 지적 여행을 할 수 있고, 유용한 지식인가 하는 점이 그 준거가 될 수 있을 것이다. 이러한 입장에서 보면 적용 범위보다 깊이와 연속성을 우선시켜야 할 것이다. 지식인은 어떤 탐구분야의 지식의 본질에 대한 감을 소유해야 하며, 관련성이란 면에서 그 분야를 알아야 하며, 그 지식이 획득되는 방법에 대한 느낌을 갖고 있어야 한다. 그렇게 되려면 그 내용에 대한 원시적인 미약한 이해로부터 보다 세련되고 강력한 이해단계에 이르는 사고경험을 직접 하도록 해야 한다. 그것은 아주 단순하고 약한 형태로 왜곡되지 않게 일찍 도입될 수 있으며, 거듭 논의되어야 한다. 인간의 지적인 생활에서 가장 기본적인 즐거움을 주는 사고 과정은 놀라움과 복잡성을 예측가능성과 단순성으로 환원하는 것이다. 가장 중요한 중심적인 주제는 학습자 자신의 지식에 대한 이해 감각의 증대이며, 이는 지식에 대한 즐거움을 생산한다. —p210-211

앎은 과정이지 산물이 아니다:

대학 교수단 가운데 간직되어 있고 일련의 권위있는 책 가운데 구체화되어 있는 일단의 지식은 이전의 많은 지적활동의 결과이다. 이러한 학문 가운데 있는 어떤 것을 누군가에게 가르치는 것은 그로 하여금 결과를 정신에 위탁하게 하는 일이 아니다. 오히려 그것은 그에게 지식의 확립을 가능하게 한 과정에 참여하도록 가르치는 것이다. 우리가 교과를 가르치는 것은 그 교과에 대한 작은 살아 있는 도서관을 만들려는 것이 아니라, 학생들로 하여금 스스로 수학적으로 생각하게 만들고, 역사가가 하듯이 사건을 다루게 하고, 지식 획득 과정에 참여하게 하는 것이다. 앎은 과정이며 산물이 아니다. —p217

제7장. 조작적 구성의 원리

물리적 성질의 분리.

그(장 피아제)의 수학에 대한 흥미는 그가 4-5세이었을 때 일어난 다음과 같은 경험에 의해서 시작되었다고 한다. 그는 정원에 앉아 작은 돌멩이를 가지고 놀고 있었다. 처음 돌멩이를 직선으로 놓고 왼쪽에서 오른쪽으로 세어 보았다. 10이었다. 다음에는 오른쪽에서 왼쪽으로 세어 보았다. 또 10이 되어 놀랐다. 그 다음에는 작은 돌멩이를 원형으로 배열하고 세어 보았다. 또 10이었다. 다시 역방향으로 세어 보았지만, 마찬가지였다. 이어서 작은 돌멩이를 여러 가지 방법으로 배열하여 세어 본 다음 결국 합계는 작은 돌멩이의 순서와 관계없이 10임을 알았다. —p247

반-역사발생적 원리: 심리발생적 원리.

특별히 수학 교육과정의 배열과 관련된 또 다른 문제가 있다. 흔히 어떤 교과에 관한 아동의 심리적 발달의 계열은 그 교과에 나오는 개념의 역사적 발달순서보다 그 교과 자체 내의 공리적 순서에 더 가깝다. 예컨데 한 도형이 다른 도형에 접해 있다든가, 떨어져 있다든가, 안에 들어 있다든가 하는 위상적 개념은 유클리드 기하나 사영기하의 개념보다 역사적으로는 나중에 발달한 개념이지만, 아동의 발달 과정상으로 보면 먼저 형성된다. 사실, 어떤 교과의 구조를 가르칠 때 역사적 발달순서보다 그 자체의 올바른 논리적, 즉, 공리적 순서를 따라 가르치는 데 대한 어떤 특별한 정당화가 필요하다면 이러한 사실이 그것을 제공해준다. —p252-253

제8장. Lakatos의 증명과 반박 방법

러커토시 임레

제9장. 조지 폴리아의 문제해결 교육론

괴델:

모든 종류의 수학문제에 대해 알고리즘이 발견될 수 있다는 생각은 수학의 발달과 더불어 확고한 듯하였으나, 1931년 괴델의 불완전성 정리가 발표됨으로써 불가능함이 입증되었다. 문제해결 방법을 알고리즘화 하려는 노력은 그 후 잠시 멈춰지는 듯하였으나, 20세기 후반에 들어와 지능을 요하는 문제를 해결하는 컴퓨터에 대한 연구와 더불어 문제를 해결하는 알고리즘에 대한 연구가 다시 활발하게 이루어지고 있다. —p312

How to solve it:

조지 폴리아는 훌륭한 교육은 학생들에게 독자적인 발견의 기회를 체계적으로 발견하는 것이라고 보고, ‘수학적인 발견은 어떻게 이루어지며 문제는 어떻게 해결되는가’라는 문제를 연구하여, 발견/발명의 방법과 그 교육 방법에 대한 체계적인 설명을 시도하였다. 그 결과가 집약된 How to solve it이 출판된 1945년은 수학적 사고와 문제해결에 대한 연구와 그 교육에 대하여 폴리아 이전과 이후란 두 시대의 구분을 하는 경계선으로 간주되고 있다. —p312

발견술의 또 다른 응용분야인 인공지능:

한편, AI 분야가 등장하여 문제해결 방법을 알고리즘화 하려는 노력이 진행되면서 폴리아의 발견술은 교육적 차원이 아닌 ‘정보처리 과정’이란 측면에서 주목을 받고 있다. —p312-313

수학에서 추측의 역할

수학적 정리를 증명하기에 앞서 먼저 추측을 해야 한다. 세세한 부분을 수행하기 전에 증명에 대한 아이디어를 추측해야 한다. 관찰한 것을 결합시키고 유추를 해야한다. 몇 번이고 시도해 보아야 한다. 수학자의 창조적인 연구의 결과는 연역적 추론, 곧 증명이다. 그러나 그 증명은 개연적 추론, 추측에 의해 발견된다. —p315

조지 폴리아의 발견술:

조지 폴리아의 현대적 발견술은 문제에 대한 이해, 계획의 작성, 실행, 반성의 네 단계로 나누어진 질문과 권고형태의 대화체로 이루어져 있는데, 그 바탕에 있는 사고전략을 정리해보면 다음과 같다.

문제에 대한 이해: 목표에 주의를 집중하기, 문제의 주요 부분에 주목하기, 조건에 주목하여 문제를 조망해보기, 그림을 그리고 적절한 기호를 붙이기, 조건을 분해하여 써보기

계획의 작성: 관련된 지식을 동원하기, 유용한 패턴 찾아보기, 관련된 문제나 정리를 알아보기, 미지인 것이나 결론이 같거나 유사한 문제를 생각해보기, 관련된 문제의 풀이 결과와 방법을 활용하기 및 보조요소를 도입하여 그것을 활용하기, 문제를 달리 진술해보기, 정의를 되짚어 보기, 보다 단순한 문제, 보다 일반적인 문제, 보다 특수한 문제, 유사한 문제 등 관련된 문제를 풀어보기, 미지인 것과 조건 및 자료를 변형하여 보조문제를 작성하여 문제를 부분적으로 해결해 보기, 진척이 없을 때 상황을 재평가하기, 자료, 조건, 핵심적인 개념의 사용 여부 점검하기

계획의 실행: 매 단계를 점검하면서 풀어가기

반성: 풀이 결과와 논증과정을 점검하기, 다른 풀이방법을 알아보기, 일별해 보기, 풀이 결과나 방법을 활용할 수 있는 문제를 찾아보기.

이 밖에도 폴리아는 거꾸로 연구하기, 단순화해보기, 유추하기, 간단하고 쉽고 익숙한 것을 먼저 고려해보기, 문제를 전체적으로 이해한 다음 세부적인 부분에 주목하기, 문제를 형태별로 분류하기, 패턴 찾아보기, 대칭성에 주목하기, 동치인 문제를 고려하기, 극단적인 경우를 점검해 보기, 차원에 의한 검증을 해보기 등을 중요한 발견적 사고전략으로 강조하고 있다. —p317

제10장. 귀납과 유추 및 은유

귀납추론이란:

귀납추론이란 관찰된 특수한 사례의 공통성에 주목하여 그러한 사례 전체에 대해서 성립될 수 있는 숨겨져 있는 일반적인 법칙을 이끌어내는 추론을 말한다. 귀납적 추론은 근대과학이 발전하면서 자연탐구 방법이 문제시되던 시대적 요청에 따라 17세기에 영국의 프란시스 베이컨에 의해 그 중요성이 강조되고 체계적으로 연구되었으며, 존 스튜어트 밀에 의해 보완되어 과학적 사고방법의 전형으로 여겨져 왔다. …

그러나 흄이 귀납의 타당성에 회의르 제기한 이래 귀납의 문제는 현대 철학의 주요한 논쟁점의 하나가 되었다. 최근 칼 포퍼나 러커토시 임레 같은 학자들은 과학적 지식의 발견은 귀납추론에 의한 것이 아니며, 전형적인 보기로부터의 단일한 관찰과 실험을 통한 추측, 반례에 의한 반박, 개선된 추측에 의해 성장한다는 주목할만한 주장을 펴고 있다. —p337-338

귀납에 의한 오류들:

선입견이나 부주의 등으로 관찰하여야 할 사례를 간과하는데에서 오는 오류, 착각이나 편견 등으로 인하여 왜곡된 관찰을 하는데에서 오는 오류, 조급하게 일반화하는 데에서 오는 오류, 검증 없이 사실의 단순한 열거만으로 일반화하려는 오류, 외형상의 유사점만으로 유추하는 데에서 생기는 오류, 원인 오인이나 인과의 상호작용 간과나 인과 전도나 원인과 조건의 혼동 등 인과관계 추정의 오류 등을 생각할 수 있다. —p339-340

수학적 귀납법은 귀납이 아니라 연역이다.

수학적 귀납법은 귀납이 아니라 자연수의 기본성질을 이용한 연역이다. 귀납추론에 의해 이끌어 낸 법칙은 추측에 지나지 않으며, 그것이 참임을 보증하려면 연역추론, 곧 증명과정이 뒤따라야 한다. 그러나 학교수학에서는 추측된 일반적 성질이 참임을 보다 확실히 하기 위하여 새로운 사례를 검사해 보는 것으로 그치는 경우가 많다. —p341

유추란?

유추란 유사성을 바탕으로 어떤 대상에 대하여 성립하는 성질로부터 그와 유사한 대상의 성질을 추측하는 것이다. 어떤 종류의 대상이 다른 종류의 대상과 몇 가지 점에서 서로 유사하다는 사실이 확인될 때, 첫번째 종류의 대상이 그 밖의 다른 특성을 갖고 있으면 두 번째 종류의 대상도 그 성질을 가지고 있을 것이라고 추리하는 것이 유추이다. 유추의 강도는 두 종류의 대상 사이의 관련된 점에서의 유사성에 좌우된다. —p342